PENALARAN MATEMATIKA

PENALARAN MATEMATIKA

PenalaranMatematikaadalahSalah satu proses berpikir yang dilakukandengancaramenariksuatukesimpulan( Nurahman : 2011 ). Penalaranmatematikamerupakanhal yang sangatpentinguntukmengetahuidanmengerjakanpermasalahanmatematika.

Penalaranmatematikadibagimenjadibeberapa, yakni

a)      KalimatPernyataan

Kalimatpernyataanadalahkalimatmatematika yang memilikinilaibenaratausalahtetapitidaksekaligusbenardansalah

Contoh :

1.      a.Pancasila sebagai ideologi negara (Pernyataanbenar )

      b. Matematikaadalahilmu yang tidakpasti(Pernyataansalah )

2.      a. 20 + 5 = 25 ( Pernyataanbenar )

      b. 23 – 8 =20  (Pernyataansalah )

Kalimat 1a dan 1bmerupakankalimatpernyataankarenadapatdiketahuinilaikebenarannya. Kalimat 1abernilaibenarsedangkankalimat 1bbernilaisalah.

b)     Kalimat Terbuka

Kalimatterbukaadalahkalimat yang dapatditentukannilaikebenarannya. Kalimatinimasihmengandung variable yang harusdiganti agar dapatditentukankebenarannya. Pengganti variable tersbeutdinamakanhimpunanpenyelesaian.

Contoh :

A. 5a = 35 (kalimatterbuka)

Jika a digantidengan 7, makadidapatpernyataan yang bernilaibenarkarena 5(7) = 35.

c)      Ingkaran (Negasi)

Ingkaran (negasi) adalahpernyataan yang bernilaikebalikandaripernyataansebelumnya. Jikasuatupernyataanp bernilaibenar, makanegasinyabernilaisalah. Operasinegasimenggunakantanda ~.

Tabelkebenarannegasi

Contoh :

a. pernyataan : Sepedaadalahkendaraanberodaempat (Pernyataansalah)

negasi            : Sepedabukankendaraanberodaempat ( PernyataanBenar)

b. Pernyataan : 2 + 5 = 7 ( PernyataanBenar)

negasi             : 2 + 5 ≠ 7 ( Pernyataansalah )

d)     Konjungsi

Konjungsiadalahpenggabunganduapernyataantunggaldenganmenggunakan kata hubung “dan”. Operasikonjungsimenggunakantanda “^” danditulis p ^ q

TabelKebenaranKonjungsi

Nilaikebenarankonjungsidapatdiringkasdenganpernyataanberikut :

“Jikakeduapernyataandinilaibenar, makakonjungsibernilaibenar. Selaindariitu, pernyataanbernilaisalah“

Contoh :

1.      Diketahuipenyataan :

p    : Budi rajinbelajar .

q    : Budi lulus ujian.

a)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyi  p ^ q adalah “ Budi rajinbelajardania lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.

b)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p ^ q adalah“ Budirajinbelajardaniatidak lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaisalah.

c)      Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyi p ^ q adalah“ Buditidakrajinbelajardania lulus ujian” makapernyataantersebutbernilaisalah.

d)     Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p ^ q  adalah “ Budi tidakrajinbelajardaniatidak lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaisalah.

e)      Disjungsi

Disjungsiadalahpernyataanmajemuk yang terdiridariduapernyataan yang menggunakan kata hubung “atau”. Operasidisjungsimenggunakantanda “v” danditulis p v q.

TabelKebenaranDisjungsi

nilaikebenarandisjungsidapatdiringkasdenganpernyataanberikut : “jikakeduapernyataanbernilaisalah, makadisjungsibernilaisalah. Selaindariitu, pernyaatnbernilaibenar”.

Contoh :

1.      Diketahuipenyataan :

p          : Budi rajinbelajar.

q          : Budi lulus ujian.

a)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyi p v q adalah “ Budi rajinbelajaratauia lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.

b)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p v q adalah“ Budirajinbelajaratauiatidak lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.

c)      Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyi p v q adalah“ Buditidakrajinbelajaratauia lulus ujian ” makapernyataantersebutbernilaibenar.

d)     Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p v q adalah“ Buditidakrajinbelajaratauiatidak lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaisalah.

f)       Implikasi

Implikasiadalahpenggabunganduapernyataandenganmenggunaka kata hubung “jika…maka…”.Operasiimplikasimenggunakantanda “→” danditulis “p→q”.

TabelKebenaranImplikasi

Nilaikebenaranimplikasidapatdiringkasdenganpernyataanberikut :” jikapernyataanpertamabernilaibenardanpernyataankeduabernilaisalahmakaimplikasibernilaisalah. Selaindariitu, pernyatanbernilaibenar.:

Contoh:

1.      Diketahuipenyataan :

p          : Budi rajinbelajar.

q          : Budi lulus ujian.

a)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyip→qadalah “ Jika Budi rajinbelajarmakaia lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.

b)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyip→qadalah “JikaBudi rajinbelajarmakaiatidak lulus ujian“ makapernyataantersebutbernilaisalah.

c)      Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyip→qadalah “Jika Budi tidakrajinbelajarmakaia lulus ujian ”makapernyataantersebutbernilaibenar.

d)     Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyip→qadalah “JikaBudi tidakrajinbelajarmakaiatidak lulus ujian“ makapernyataantersebutbernilaibenar.

e)      Biimplikasi

Biimplikasiadalahpenggabunganduapernyataanmenggunakan kata hubung“ jikadanhanyajika”. Operasibiimplikasimenggunakantanda “↔” danditulisp↔q.

TabelKebenaranBiimplikasi

Nilaikebenaranbiimplikasidapatdiringkasdenganpernyataanberikut : “jikakeduapernyataanbernilaisalahmakabiimplikasibernilaibenar. Selaindariitupernyataanbernilaisalah”.

Contoh:

1.      Diketahuipenyataan :

p          : Budi rajinbelajar.

q          : Budi lulus ujian.

a)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyip↔qadalah “ Budi rajinbelajarjikadanhanyajikaia lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.

b)      Jika (p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyip↔qadalah“ Budirajinbelajarjikadanhanyajikaiatidak lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaisalah.

c)      Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyip↔qadalah“ Buditidakrajinbelajarjikadanhanyajikaia lulus ujian ” makapernyataantersebutbernilaisalah.

2.      Jika (p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyip↔qadalah“ Buditidakrajinbelajarjikadanhanyajikaiatidak lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.

Invers, konvers, Kontraposisi

Dari pernyataanimplikasidapatterbentuk:

1.      Invers :  ~ p → ~ qberawaldarikitamembuatimplikasibarudenganpenambahannegasipadaantesedendankonsekuen.

2.      Konvers :q→pberawaldarikitamembuatimplikasibarudenganpenukaranantesedendankonsekuen.

3.      Kontraposisi :  ~ q → ~ pberawaldarikitamembuatimplikasibarudenganmenukarkandanpenambahannegasipadaantesedendankonsekuen.

Tabelkebenarankonvers , invers dankontraposisi

Contoh:

•      Implikasi ( p → q ) :

p : Budi rajinbelajar

q : Budi lulus ujian.

Maka p → q berbunyi “Jika Budi rajinbelajar, makaBudi lulus Ujian .

•      Invers (~ p → ~ q ) :

p :Budi rajinbelajar

q : Budi lulus ujian.

      Maka ~ p → ~ q berbunyi“ Jika Budi tidakrajinbelajar , maka Budi tidaklulus.

•      Konvers (q→p ) :

p : Budi rajinbelajar

q : Budi lulus ujian.

Makaq→pberbunyi“ Jika Budi lulus ujian , makaBubirajinbelajar”.

•      Kontraposisi (~ q → ~ p ) :

p : Budi rajinbelajar

q : Budi lulus ujian.

Maka ~ q → ~ p berbunyi“ JikaBudi tidak lulus ujian , maka Budi tidakrajinbelajar”. 

f)       PernyataanEkuivalen

Pernyataanekuivalenadalahduapernyataan yang memilikinilaikebenaran yang sama. Pernyataanekuivalendiberi lambing “≡”.

Beberapapernyataanekuivalen yang berbentukingkaranadalah :

1. ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q

2. ~(p ʌ q) ≡ ~p v ~q

3. ~(p → q) ≡ p ʌ ~q

4. ~(p ↔ q) ≡ (p ʌ ~q) v (~p ʌ q)

g)      PenarikanKesimpulan

1.      Modus Ponens

premis 1 : p →q

premis 2 : p             ( modus ponens)

__________________

Kesimpulan: q

    Contoh:

premis 1 : Jikaibu dating makaadikakansenang

premis 2 : Ibudatang

__________________

Kesimpulan: Adiksenang

2.      Modus Tollens

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q             ( modus tollens)

__________________

Kesimpulan: ~p

  

  Contoh:

premis 1 : Jikaharihujan, makaibumemakaipayung

premis 2 : Ibutidakmemakaipayung

___________________

Kesimpulan :Haritidakhujan

3.         Silogisme

premis 1 : p→q

 premis 2 : q → r            ( silogisme)

       _________________

Kesimpulan:  p →r

Contoh:

Premis1 :Jikaharga BBM naik, makahargabahanpokoknaik.

Premis2 :Jikahargabahanpokoknaikmakasemua orang tidaksenang.

__________________________________________________

Kesimpulan:  Jikaharga BBM naik, makasemua orang tidaksenang.