PENALARAN MATEMATIKA
PenalaranMatematikaadalahSalah satu proses berpikir yang
dilakukandengancaramenariksuatukesimpulan( Nurahman : 2011 ).
Penalaranmatematikamerupakanhal yang
sangatpentinguntukmengetahuidanmengerjakanpermasalahanmatematika.
Penalaranmatematikadibagimenjadibeberapa, yakni
a)
KalimatPernyataan
Kalimatpernyataanadalahkalimatmatematika yang
memilikinilaibenaratausalahtetapitidaksekaligusbenardansalah
Contoh :
1.
a.Pancasila sebagai ideologi negara (Pernyataanbenar )
b. Matematikaadalahilmu
yang tidakpasti(Pernyataansalah )
2.
a.
20 + 5 = 25 ( Pernyataanbenar )
b. 23 – 8 =20 (Pernyataansalah )
Kalimat 1a dan 1bmerupakankalimatpernyataankarenadapatdiketahuinilaikebenarannya.
Kalimat 1abernilaibenarsedangkankalimat 1bbernilaisalah.
b)
Kalimat Terbuka
Kalimatterbukaadalahkalimat yang dapatditentukannilaikebenarannya.
Kalimatinimasihmengandung variable yang harusdiganti agar
dapatditentukankebenarannya. Pengganti variable
tersbeutdinamakanhimpunanpenyelesaian.
Contoh :
A. 5a = 35 (kalimatterbuka)
Jika a digantidengan 7, makadidapatpernyataan yang
bernilaibenarkarena 5(7) = 35.
c)
Ingkaran (Negasi)
Ingkaran (negasi) adalahpernyataan yang
bernilaikebalikandaripernyataansebelumnya. Jikasuatupernyataanp bernilaibenar,
makanegasinyabernilaisalah. Operasinegasimenggunakantanda ~.
Tabelkebenarannegasi
Contoh :
a. pernyataan : Sepedaadalahkendaraanberodaempat (Pernyataansalah)
negasi : Sepedabukankendaraanberodaempat ( PernyataanBenar)
b. Pernyataan : 2 + 5 = 7 ( PernyataanBenar)
negasi : 2 + 5 ≠ 7 ( Pernyataansalah )
d)
Konjungsi
Konjungsiadalahpenggabunganduapernyataantunggaldenganmenggunakan
kata hubung “dan”. Operasikonjungsimenggunakantanda “^” danditulis p ^ q
TabelKebenaranKonjungsi
Nilaikebenarankonjungsidapatdiringkasdenganpernyataanberikut :
“Jikakeduapernyataandinilaibenar, makakonjungsibernilaibenar.
Selaindariitu, pernyataanbernilaisalah“
Contoh :
1.
Diketahuipenyataan
:
p : Budi rajinbelajar .
q :
Budi lulus ujian.
a)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyi p ^ q adalah “ Budi rajinbelajardania
lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.
b)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p ^ q adalah“
Budirajinbelajardaniatidak lulus ujian “
makapernyataantersebutbernilaisalah.
c)
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyi p ^ q adalah“
Buditidakrajinbelajardania lulus ujian”
makapernyataantersebutbernilaisalah.
d)
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p ^ q adalah “ Budi tidakrajinbelajardaniatidak
lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaisalah.
e)
Disjungsi
Disjungsiadalahpernyataanmajemuk yang terdiridariduapernyataan yang
menggunakan kata hubung “atau”. Operasidisjungsimenggunakantanda “v” danditulis
p v q.
TabelKebenaranDisjungsi
nilaikebenarandisjungsidapatdiringkasdenganpernyataanberikut :
“jikakeduapernyataanbernilaisalah, makadisjungsibernilaisalah. Selaindariitu,
pernyaatnbernilaibenar”.
Contoh :
1.
Diketahuipenyataan
:
p : Budi rajinbelajar.
q : Budi lulus ujian.
a)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyi p v q adalah “
Budi rajinbelajaratauia lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.
b)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p v q adalah“
Budirajinbelajaratauiatidak lulus ujian “
makapernyataantersebutbernilaibenar.
c)
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyi p v q adalah“
Buditidakrajinbelajaratauia lulus ujian ”
makapernyataantersebutbernilaibenar.
d)
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyi p v q adalah“
Buditidakrajinbelajaratauiatidak lulus ujian “
makapernyataantersebutbernilaisalah.
f)
Implikasi
Implikasiadalahpenggabunganduapernyataandenganmenggunaka kata
hubung “jika…maka…”.Operasiimplikasimenggunakantanda “→” danditulis “p→q”.
TabelKebenaranImplikasi
Nilaikebenaranimplikasidapatdiringkasdenganpernyataanberikut :”
jikapernyataanpertamabernilaibenardanpernyataankeduabernilaisalahmakaimplikasibernilaisalah.
Selaindariitu, pernyatanbernilaibenar.:
Contoh:
1.
Diketahuipenyataan
:
p : Budi rajinbelajar.
q : Budi lulus ujian.
a)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyip→qadalah “ Jika
Budi rajinbelajarmakaia lulus ujian “ makapernyataantersebutbernilaibenar.
b)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyip→qadalah “JikaBudi
rajinbelajarmakaiatidak lulus ujian“
makapernyataantersebutbernilaisalah.
c)
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyip→qadalah “Jika
Budi tidakrajinbelajarmakaia lulus ujian
”makapernyataantersebutbernilaibenar.
d)
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyip→qadalah “JikaBudi
tidakrajinbelajarmakaiatidak lulus ujian“
makapernyataantersebutbernilaibenar.
e)
Biimplikasi
Biimplikasiadalahpenggabunganduapernyataanmenggunakan kata hubung“
jikadanhanyajika”. Operasibiimplikasimenggunakantanda “↔” danditulisp↔q.
TabelKebenaranBiimplikasi
Nilaikebenaranbiimplikasidapatdiringkasdenganpernyataanberikut :
“jikakeduapernyataanbernilaisalahmakabiimplikasibernilaibenar.
Selaindariitupernyataanbernilaisalah”.
Contoh:
1.
Diketahuipenyataan
:
p : Budi rajinbelajar.
q : Budi lulus ujian.
a)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaibenarmakaberbunyip↔qadalah “ Budi
rajinbelajarjikadanhanyajikaia lulus ujian “
makapernyataantersebutbernilaibenar.
b)
Jika
(p) bernilaibenardan (q) bernilaisalahmakaberbunyip↔qadalah“
Budirajinbelajarjikadanhanyajikaiatidak lulus ujian “
makapernyataantersebutbernilaisalah.
c)
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaibenarmakaberbunyip↔qadalah“
Buditidakrajinbelajarjikadanhanyajikaia lulus ujian ” makapernyataantersebutbernilaisalah.
2.
Jika
(p) bernilaisalahdan (q) bernilaisalahmakaberbunyip↔qadalah“
Buditidakrajinbelajarjikadanhanyajikaiatidak lulus ujian “
makapernyataantersebutbernilaibenar.
Invers,
konvers, Kontraposisi
Dari pernyataanimplikasidapatterbentuk:
1.
Invers
: ~ p → ~ qberawaldarikitamembuatimplikasibarudenganpenambahannegasipadaantesedendankonsekuen.
2.
Konvers
:q→pberawaldarikitamembuatimplikasibarudenganpenukaranantesedendankonsekuen.
3.
Kontraposisi
: ~ q → ~ pberawaldarikitamembuatimplikasibarudenganmenukarkandanpenambahannegasipadaantesedendankonsekuen.
Tabelkebenarankonvers
, invers dankontraposisi
Contoh:
•
Implikasi
( p → q ) :
p : Budi
rajinbelajar
q : Budi lulus
ujian.
Maka p → q
berbunyi “Jika Budi rajinbelajar, makaBudi lulus Ujian .
•
Invers
(~ p → ~ q ) :
p :Budi
rajinbelajar
q : Budi lulus
ujian.
Maka ~ p → ~ q berbunyi“ Jika Budi tidakrajinbelajar
, maka Budi tidaklulus.
•
Konvers
(q→p ) :
p : Budi
rajinbelajar
q : Budi lulus
ujian.
Makaq→pberbunyi“
Jika Budi lulus ujian , makaBubirajinbelajar”.
•
Kontraposisi
(~ q → ~ p ) :
p : Budi
rajinbelajar
q : Budi lulus
ujian.
Maka ~ q → ~ p
berbunyi“ JikaBudi tidak lulus ujian , maka Budi tidakrajinbelajar”.
f)
PernyataanEkuivalen
Pernyataanekuivalenadalahduapernyataan
yang memilikinilaikebenaran yang sama. Pernyataanekuivalendiberi lambing “≡”.
Beberapapernyataanekuivalen
yang berbentukingkaranadalah :
1. ~(p v q) ≡
~p ʌ ~q
2. ~(p ʌ q) ≡
~p v ~q
3. ~(p → q) ≡ p
ʌ ~q
4. ~(p ↔ q) ≡
(p ʌ ~q) v (~p ʌ q)
g)
PenarikanKesimpulan
1.
Modus Ponens
premis
1 : p →q
premis
2 : p (
modus ponens)
__________________
Kesimpulan:
q
Contoh:
premis
1 : Jikaibu dating makaadikakansenang
premis
2 : Ibudatang
__________________
Kesimpulan:
Adiksenang
2.
Modus Tollens
premis
1 : p →q
premis
2 : ~q
( modus tollens)
__________________
Kesimpulan:
~p
Contoh:
premis
1 : Jikaharihujan, makaibumemakaipayung
premis
2 : Ibutidakmemakaipayung
___________________
Kesimpulan
:Haritidakhujan
3.
Silogisme
premis
1 : p→q
premis 2 : q →
r (
silogisme)
_________________
Kesimpulan:
p →r
Contoh:
Premis1
:Jikaharga BBM naik, makahargabahanpokoknaik.
Premis2
:Jikahargabahanpokoknaikmakasemua orang tidaksenang.
__________________________________________________
Kesimpulan:
Jikaharga BBM naik, makasemua orang tidaksenang.
